Nội dung bài xích ôn tập chươngGiới hạnđể giúp đỡ những em khối hệ thống hóa lại toàn cục kiến thức và kỹ năng đã có học tập ởChương thơm IV Đại số và Giải tích 11. Bên cạnh đó những em rất có thể review cường độ đọc bài xích của mình trải qua bài bác đánh giá Trắc nghiệm với phần đa thắc mắc tất cả cường độ khó khăn tự cơ bạn dạng cho nâng cao.

Bạn đang xem: Ôn tập chương 4 đại số 11


1. Tóm tắt lý thuyết

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

HÀM SỐ LIÊN TỤC

2. những bài tập minh hoạ

3.Luyện tập bài 4 cmùi hương 4 giải tích 11

3.1. Trắc nghiệm vềÔn tậpgiới hạn

3.2. các bài tập luyện SGK & Nâng cao vềÔn tập giới hạn

4.Hỏi đáp vềbài bác 4 chương 4 giải tích 11


*

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Định nghĩa

Định nghĩa 1:

Ta bảo rằng dãy số (un) bao gồm số lượng giới hạn là 0 khi n dần cho tới vô cực, nếu (left| u_n ight|) có thể bé dại hơn một trong những dương nhỏ nhắn tùy ý, Tính từ lúc số hạng như thế nào kia trsinh sống đi. Kí hiệu:(mathop lyên limits_n o + infty left( u_n ight) = 0 m , tuyệt , mu_ mn o lớn 0 m , khi, n o m + infty m.)

Định nghĩa 2:

Ta nói hàng số (un) bao gồm giới hạn là a giỏi (un) dần tới a Khi n dần cho tới vô cực ((n lớn + infty )), ví như (mathop lim limits_n o lớn + infty left( u_n - a ight) = 0. m )Kí hiệu: (mathop lyên ổn limits_n khổng lồ + infty left( u_n ight) = a m , hay, mu_ mn lớn a m , Lúc , n o m + infty m.)

Chụ ý: (mathop lim limits_n o lớn + infty left( u_n ight) = llặng left( u_n ight)).

2. Một vài ba giới hạn đặc biệt

(lyên ổn frac1n = 0 m , m limfrac m1 mn^ mk = 0 m , n in mathbbZ_ + ^*)

(lyên left( q^n ight) = 0 m ) cùng với (left| q ight| n)=c (c là hằng số) => Lim(un)=limc=c.

Một số định lý về số lượng giới hạn của hàng số:

Định lý 1: Cho hàng số (un),(vn) và (wn) có : ( mv_ mn le u_n le w_n m forall mn in mathbbN^ m*) cùng (llặng left( v_n ight) = lyên ổn left( w_n ight) = a m Rightarrow mlimleft( mu_ mn ight) = a).

Định lý 2: Nếu lim(un)=a , lim(vn)=b thì:

(lim left( u_n pm v_n ight) = lim left( u_n ight) pm llặng left( v_n ight) = a pm b)

(lyên left( u_n.v_n ight) = lyên ổn u_n.llặng v_n = a.b)

(lyên fracu_nv_n = fracllặng left( u_n ight)lim left( v_n ight) = fracab m ,left( mv_ mn e 0 m forall mn in mathbbN^ m*;b e 0 ight))

(lim sqrt u_n = sqrt lim left( u_n ight) = sqrt a m ,left( u_n ge 0 m ,a ge m0 ight))

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn bao gồm công bội q ,cùng với (left| q ight| 3. Dãy số dần cho tới vô cực

Ta nói dãy số (un) dần dần tới vô cực (left( u_n khổng lồ + infty ight)) lúc n dần cho tới vơ cực (left( n lớn + infty ight)) nếu như un to hơn một trong những dương ngẫu nhiên, Tính từ lúc số hạng nào kia trsinh sống đi. Kí hiệu: lim(un)=( + infty ) tốt un ( khổng lồ + infty ) Lúc (n khổng lồ + infty ).

Ta nói dãy số (un) tất cả giới hạn là ( - infty ) Khi (n o + infty ) ví như lim(left( - u_n ight) = + infty ).Ký hiệu: lim(un)=( - infty ) giỏi un( o - infty ) lúc (n o lớn + infty ).

4. Định lý

Nếu : (llặng left( u_n ight) = 0 m left( mu_ mn e 0 m ,forall mn in mathbbN^ m* ight)) thì (lyên frac1u_n = infty )

Nếu : (lim left( u_n ight) = infty m ) thì (lim frac1u_n = 0)

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

1. Giới hạn của hàng số (un) cùng với (u_n = fracPleft( n ight)Qleft( n ight)) cùng với Phường,Q là các đa thức:

Nếu bậc P = bậc Q = k, thông số tối đa của P.. là a0, thông số cao nhất của Q là b0 thì phân chia tử số với mẫu số mang đến nk nhằm đi mang lại công dụng : (lyên ổn left( u_n ight) = fraca_0b_0).

Nếu bậc P nhỏ tuổi rộng bậc Q = k, thì chia tử với chủng loại mang lại nk để đi mang lại công dụng :lim(un)=0.

Nếu k = bậc P > bậc Q, phân chia tử với mẫu mang lại nk nhằm đi cho kết quả :lim(un)=(infty ).

2. Giới hạn của dãy số dạng: (u_n = fracfleft( n ight)gleft( n ight)) , f và g là các biển thức đựng cnạp năng lượng.

Chia tử với mẫu cho nk cùng với k chọn phù hợp.

Nhân tử với mẫu mã cùng với biểu thức liên hợp.


I.KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.Định nghĩa

Cho hàm số f(x) khẳng định trên khoảng tầm K.Ta nói rằng hàm số f(x) gồm giới hạn là L Lúc x dần cho tới a trường hợp với đa số dãy số (xn), xn( in )K và xn( e )a ,(forall n in mathbbN^*) mà lim(xn)=a đều phải có lim=L.Kí hiệu:(mathop lyên ổn limits_x o lớn a left< fleft( x ight) ight> = L).

2.Một số định lý về giới hạn của hàm số

Định lý 1:Nếu hàm số bao gồm giới hạn bởi L thì số lượng giới hạn đó là độc nhất vô nhị.

Định lý 2:Nếu những giới hạn:(mathop lyên ổn limits_x lớn a left< fleft( x ight) ight> = L m , m mathop lyên limits_x lớn a left< gleft( x ight) ight> = M) thì:

(mathop llặng limits_x lớn a left< fleft( x ight) pm gleft( x ight) ight> = mathop llặng limits_x o a left< fleft( x ight) ight> pm mathop llặng limits_x khổng lồ a left< gleft( x ight) ight> = L pm M)

(mathop lyên limits_x o a left< fleft( x ight).gleft( x ight) ight> = mathop lyên ổn limits_x o lớn a left< fleft( x ight) ight>.mathop llặng limits_x o a left< gleft( x ight) ight> = L.M)

(mathop lyên ổn limits_x khổng lồ a fracfleft( x ight)gleft( x ight) = fracmathop lyên ổn limits_x o lớn a left< fleft( x ight) ight>mathop lyên limits_x o lớn a left< gleft( x ight) ight> = fracLM m , M e m0)

(mathop lim limits_x o lớn a sqrt fleft( x ight) = sqrt mathop lyên ổn limits_x lớn a left< fleft( x ight) ight> = sqrt L m ; fleft( x ight) ge 0,L ge 0)

Cho cha hàm số f(x), h(x) và g(x) xác định bên trên khoảng tầm K cất điểm a (rất có thể trừ điểm a), g(x)( le )f(x)( le )h(x) (forall x in K,x e a) cùng (mathop lyên ổn limits_x khổng lồ a left< gleft( x ight) ight> = mathop lim limits_x khổng lồ a left< hleft( x ight) ight> = L Rightarrow mathop lyên ổn limits_x lớn a left< fleft( x ight) ight> = L).

Mngơi nghỉ rộng định nghĩa số lượng giới hạn hàm số:

Trong tư tưởng số lượng giới hạn hàm số , ví như với tất cả hàng số (xn), lim(xn) = a , đều sở hữu lim=(infty ) thì ta nói f(x) dần dần cho tới vô cực Khi x dần tới a, kí hiệu: (mathop lyên ổn limits_x khổng lồ a left< fleft( x ight) ight> = infty ).

Nếu với đa số dãy số (xn) , lim(xn) = (infty ) đều phải có lim = L , thì ta nói f(x) bao gồm số lượng giới hạn là L khi x dần tới vô rất, kí hiệu:(mathop lim limits_x lớn infty left< fleft( x ight) ight> = L).

Trong khái niệm số lượng giới hạn hàm số chỉ đòi hỏi với tất cả dãy số (xn), nhưng xn> a (forall n in mathbbN^*), thì ta nói f(x) tất cả giới hạn trở về bên cạnh đề xuất trên a, kí hiệu :(mathop llặng limits_x o a^ + left< fleft( x ight) ight>). Nếu chỉ yên cầu với tất cả dãy số (xn), xn2.

Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu mã cho các biểu thức phối hợp.

Giới hạn của hàm số dạng:(mathop lyên ổn limits_x khổng lồ infty fracfleft( x ight)gleft( x ight) m left( fracinfty infty ight))

Chia tử và mẫu mã mang đến xkvới k chọn thích hợp. Chụ ý rằng trường hợp (x khổng lồ + infty ) thì coi nhỏng x>0, nếu (x khổng lồ - infty ) thì coi như x1. Hàm số liên tục tại một điểm bên trên một khoảng

Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng tầm (a;b). Hàm số được Gọi là thường xuyên trên điểm x0 ( in ) (a;b) nếu:(mathop llặng limits_x o x_0 left< fleft( x ight) ight> = fleft( x_0 ight)).Điểm x0 trên đó f(x) không liên tục điện thoại tư vấn là vấn đề ngăn cách của hàm số.

f(x) xác định bên trên khoảng tầm (a;b), liên tục tại điểm x0 ( in ) (a;b) ( Leftrightarrow mathop lyên limits_x o x_0^ + left< fleft( x ight) ight> = mathop llặng limits_x lớn x_0^ - left< fleft( x ight) ight> = mathop lyên ổn limits_x lớn x_0 left< fleft( x ight) ight> = fleft( x_0 ight)).

f(x) xác định bên trên khoảng tầm (a;b) được gọi là thường xuyên bên trên khoảng tầm (a;b) giả dụ nó liên tiếp trên những điểm trực thuộc khoảng ấy.

f(x) xác minh trên khoảng tầm được hotline là tiếp tục bên trên khoảng ví như nó liên tục trên khoảng tầm (a;b) với (left{ eginarraylmathop lyên ổn limits_x lớn a^ + left< fleft( x ight) ight> = fleft( a ight)\mathop lyên limits_x khổng lồ b^ - left< fleft( x ight) ight> = fleft( b ight)endarray ight.)

2. Một số định lý về hàm số liên tục

Định lý 1: f(x) với g(x) thường xuyên trên x0 thì:(fleft( x ight) pm gleft( x ight) m , fleft( x ight).gleft( x ight) m , fracfleft( x ight)gleft( x ight) m left( gleft( x ight) e 0 ight)) cũng liên tiếp tại x0 .

Đinh lý 2: Các hàm nhiều thức, hàm hữu tỷ, lượng chất giác tiếp tục bên trên tập xác định của bọn chúng.

Định lý 3: f(x) thường xuyên trên đoạn thì nó đạt GTLN, GTNN cùng hồ hết cực hiếm trung thân GTLN cùng GTNN trên đoạn đó.

Hệ quả: Nếu f(x) liên tục trên đoạn với f(a).f(b)1. Xét tính liên tiếp của hàm số dạng: (fleft( x ight) = left{ eginarraylgleft( x ight) m left( mx e mx_ m0 ight)\ ma left( mx = mx_ m0 ight)endarray ight. m )

Tìm (mathop lyên ổn limits_x khổng lồ x_0 left< gleft( x ight) ight>).Hàm số thường xuyên trên x0 ( Leftrightarrow mathop lyên ổn limits_x lớn x_0 left< gleft( x ight) ight> = a).

Xét tính thường xuyên của hàm số dạng: (fleft( x ight) = left{ eginarraylgleft( x ight) m left( mx mx_ m0 ight)endarray ight.)

Tìm : (left{ eginarraylmathop lyên limits_x o x_0^ - left< fleft( x ight) ight> = mathop llặng limits_x lớn x_0^ - left< gleft( x ight) ight>\mathop llặng limits_x khổng lồ x_0^ + left< fleft( x ight) ight> = mathop lyên ổn limits_x lớn x_0^ + left< gleft( x ight) ight>\fleft( x_0 ight)endarray ight.). Hàm số thường xuyên tại x = x0 ( Leftrightarrow mathop lim limits_x lớn x_0^ + left< fleft( x ight) ight> = mathop lyên ổn limits_x lớn x_0^ - left< fleft( x ight) ight> = fleft( x_0 ight) = a).

2. Chứng minc pmùi hương trình f(x) = 0 bao gồm nghiệm trong vòng (a;b)

Chứng tỏ f(x) tiếp tục trên đoạn .

Chứng tỏ f(a).f(b)lấy ví dụ 1:

Tìm những giới hạn:

a) (lim m sin frac1n.)

b) ( mlim cosfrac2n + 53n^2 - 4n + 1)

Hướng dẫn giải:

a) (lim frac1n = 0 Rightarrow lyên ổn m sin frac1n = sin 0 = 0.)

b) ( mlyên cosfrac2n + 53n^2 - 4n + 1 = llặng fracfrac2n + frac5n^23 - frac4n + frac1n^2 = 0 Rightarrow mlim cosfrac2n + 53n^2 - 4n + 1 = c mos0 = 1.)

lấy ví dụ 2:

Tính các giới hạn:

a) ( mlim frac1nsin (2n + 1).)

b) ( mlyên ổn frac52n + 3c mos(n^2 + 2n - 1).)

Hướng dẫn giải:

a) (sin(2n + 1) le 1 Rightarrow 0 le left| frac1nsin (2n + 1) ight| le frac1n khổng lồ 0 Rightarrow lyên frac1nsin (2n + 1) = 0.)

b) (left| c mos(n^2 + 2n - 1) le 1 ight| Rightarrow 0 le left| frac52n + 3c mos(n^2 + 2n - 1) ight| le frac52n + 3 lớn 0)

( Rightarrow lyên frac52n + 3c mos(n^2 + 2n - 1) = 0.)

Ví dụ 3:

Tính những giới hạn:

a) (llặng frac4n^2 + 5n - 15n^3 + 2n^2 + 4n + 1.)

b) (llặng fracsqrt 4n^2 + 5n + 3 3n + 2.)

c) ( mlimsqrt 4n^2 + 5n + 3 - 2n)

Hướng dẫn giải:

a) (lim frac4n^2 + 5n - 15n^3 + 2n^2 + 4n + 1 = llặng fracfrac4n + frac5n^2 - frac1n^35 + frac2n + frac4n^2 + frac1n^3 = llặng frac05 = 0.)

b) (lyên fracsqrt 4n^2 + 5n + 3 3n + 2 = lyên fracfracsqrt 4n^2 + 5n + 3 nfrac3n + 2n = lyên ổn fracsqrt 4 + frac5n + frac3n^2 3 + frac2n = frac23.)

c) ( mlimsqrt 4n^2 + 5n + 3 - 2n = llặng frac(sqrt 4n^2 + 5n + 3 - 2n)(sqrt 4n^2 + 5n + 3 + 2n)sqrt 4n^2 + 5n + 3 + 2n)

( = lim frac3n + 3sqrt 4n^2 + 5n + 3 + 2n = frac34)

Ví dụ 4:

Tính những giới hạn:

a) (mathop lyên ổn limits_x o lớn 1 fracx^3 - 2x^2 + 3x - 2x^2 - 3x + 2.)

b) (mathop lim limits_x lớn 1 fracsqrt 3x + 1 - 2x - 1 m m.)

c) (mathop llặng limits_x lớn 1 fracsqrt<3>2x - 1 - 1x - 1.)

d) (mathop lyên limits_x khổng lồ + infty (sqrt x^2 + 2x + 3 - x))

Hướng dẫn giải:

a) (mathop lim limits_x o lớn - 1 fracx^2 - x - 2x + 1 = mathop lyên limits_x o - 1 frac(x + 1)(x - 2)x + 1 = mathop lyên ổn limits_x o - 1 (x - 2) = - 3)

b) (mathop llặng limits_x o 1 fracsqrt 3x + 1 - 2x - 1 = mathop llặng limits_x lớn 1 frac(sqrt 3x + 1 - 2)(sqrt 3x + 1 + 2)(x - 1)(sqrt 3x + 1 + 2))( = mathop lim limits_x o 1 frac3(x - 1)(x - 1)(sqrt 3x + 1 + 2) = mathop llặng limits_x khổng lồ 1 frac3(sqrt 3x + 1 + 2) = frac34)

c) (mathop lim limits_x o lớn 1 fracsqrt<3>2x - 1 - 1x - 1 = mathop lyên limits_x khổng lồ 1 fracleft( fracsqrt<3>2x - 1 - 1x - 1 ight)left( sqrt<3>(2x - 1)^2 + sqrt<3>2x - 1 + 1 ight)(x - 1)(sqrt<3>(2x - 1)^2 + sqrt<3>(2x - 1)^2 + 1))

( = mathop llặng limits_x o lớn 1 frac2(x - 1)(x - 1)(sqrt<3>(2x - 1)^2 + sqrt<3>(2x - 1)^2 + 1) = mathop lyên ổn limits_x o 1 frac2sqrt<3>(2x - 1)^2 + sqrt<3>(2x - 1)^2 + 1 = frac23.)

d) (mathop lyên ổn limits_x o lớn + infty (sqrt x^2 + 2x + 3 - x) = mathop lyên limits_x lớn + infty frac(sqrt x^2 + 2x + 3 - x)(sqrt x^2 + 2x + 3 + x)(sqrt x^2 + 2x + 3 + x))

( = mathop lyên limits_x khổng lồ + infty frac2x + 3(sqrt x^2 + 2x + 3 + x) = mathop lim limits_x lớn + infty frac2 + frac3x(sqrt 1 + frac2x + frac3x^2 + 1) = 1.)

lấy ví dụ như 5:

Cho hàm số: (fleft( x ight) = left{ eginarraylfracx^2 - 1x - 1 m left( mx e m1 ight)\ ma left( mx = 1 ight)endarray ight.) a là hằng số. Xét tính liên tiếp của hàm số tại x0 = 1.

Hướng dẫn giải:

Hàm số khẳng định với mọi x nằm trong R.

Ta bao gồm f(1) = a.

(mathop lim limits_x o lớn 1 fracx^2 - 1x - 1 = mathop lyên limits_x lớn 1 fracleft( x - 1 ight)left( x + 1 ight)x - 1 = mathop llặng limits_x o lớn 1 left( x + 1 ight) = 2)

Nếu a=2 thì hàm số tiếp tục tại x0 = 1.

Nếu a( e )2 thì hàm số ngăn cách tại x0 = 1.

lấy một ví dụ 6:

Cho hàm số: (fleft( x ight) = left{ eginarraylx^2 + 1 m left( mx > m0 ight)\ mx left( mx le m0 ight)endarray ight.). Xét tính liên tiếp của hàm số trên x0 = 0.

Hướng dẫn giải:

Hàm số xác định với đa số x trực thuộc R.

Ta gồm f(0) = 0

(eginarraylmathop llặng limits_x lớn 0^ - left< fleft( x ight) ight> = mathop lyên limits_x o 0^ - x = 0\mathop lim limits_x o 0^ + left< fleft( x ight) ight> = mathop lyên ổn limits_x o lớn 0^ + left( x^2 + 1 ight) = 1 m e m 0 = mathop lyên ổn limits_x o 0^ - left< fleft( x ight) ight> = mathop lyên limits_x o 0^ - xendarray).

Vậy hàm số không liên tiếp trên x0 = 0.

lấy ví dụ như 7:

Cho hàm số: (fleft( x ight) = left{ eginarraylax + 2 m left( mx ge m1 ight)\ mx^ m2 m + x - 1 left( { mx Hướng dẫn giải:

x >1 ta có f(x) = ax +2 hàm số thường xuyên.

x 2+x-1 hàm số liên tiếp.

lúc x = 1:

Ta tất cả f(1) = a+2

(eginarraylmathop lyên ổn limits_x khổng lồ 1^ + left< fleft( x ight) ight> = mathop lyên limits_x o 1^ + left( ax + 2 ight) = a + 2\mathop lyên limits_x khổng lồ 1^ - left< fleft( x ight) ight> = mathop lyên limits_x o 1^ - left( x^2 + x - 1 ight) = 1endarray).

Hàm số liên tục tại x0 = 1 trường hợp a = -1.

Hàm số gián đoạn tại x0 = 1 nếu a ( e ) -1.

Xem thêm: Mách Bạn 3 Cách Khắc Phục Lỗi Wifi Ngắt Kết Nối Trên Windows 10, 8, 7 Và Vista

Vậy hàm số thường xuyên trên toàn trục số ví như a = -1.Hàm số liên tiếp bên trên (left( - infty ;1 ight) cup left( 1; + infty ight)) nếu a ( e ) -1.