Hướng dẫn giải Bài §3. Đạo hàm của hàm con số giác, Cmùi hương V. Đạo hàm, sách giáo khoa Đại số với Giải tích 11. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 168 169 sgk Đại số cùng Giải tích 11 bao gồm tổng đúng theo cách làm, lý thuyết, phương thức giải bài tập đại số với giải tích tất cả vào SGK sẽ giúp các em học viên học giỏi môn tân oán lớp 11.

Bạn đang xem: Giải bài tập toán 11 trang 169

Lý thuyết

1. Đạo hàm của hàm số $y = sinx$

Hàm số (y=sin x) gồm đạo hàm trên hầu như (x in mathbbR) với (left( sin x ight)’ = cos x.)

Nếu (y=sin u) với (u=u(x)) thì ((sin u)’=u’. cos u.)

2. Đạo hàm của hàm số $y = cosx$

Hàm số (y=cos x) bao gồm đạo hàm trên hầu hết (x in mathbbR) và (left( cos x ight)’ =-sin x.)

Nếu (y=cos u) và (u=u(x)) thì ((cos u)’=-u’. sin u.)

3. Đạo hàm của hàm số $y = tanx$

Hàm số (y= ung x) có đạo hàm trên rất nhiều (x e fracpi 2 + kpi ,k in mathbbR) cùng (left( chảy x ight)’ = frac1cos ^2x.)

Nếu (y=rã u) cùng (u=u(x)) thì (left( ung u ight)’ = fracu’cos ^2u.)

4. Đạo hàm của hàm số $y = cotx$

Hàm số (y=cot x) có đạo hàm trên đầy đủ (x e kpi ,k in mathbbR) cùng (left( cot x ight)’ = – frac1sin ^2x.)

Nếu (y=cot u) với (u=u(x)) thì (left( cot x ight)’ = – fracu’sin ^2u).

Bảng đạo hàm:

*

Dưới đó là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi với bài xích tập vào phần hoạt động của học sinh sgk Đại số với Giải tích 11.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 163 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Tính (sin 0,01 over 0,01;,,sin ,0,001 over 0,001) bằng máy vi tính thu về.

Trả lời:

Ta có:

(eqalign& sin 0,01 over 0,01 approx 0,999983 crvà sin ,0,001 over 0,001 approx 0,99999983 cr )

2. Trả lời thắc mắc 2 trang 165 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Tính đạo hàm của hàm số: (y = sin (pi over 2 – x))

Trả lời:

$y’ = (sin⁡ (pi over 2 – x) )’$

Đặt $u = pi over 2 – x$ thì $u’ = -1$

⇒ $y’ = u’ cos⁡u = -1 cos⁡(pi over 2 – x) = -sin⁡x$

(vị $cos⁡(pi over 2 – x) = sin⁡x$ ).

3. Trả lời thắc mắc 3 trang 166 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Tính đạo hàm của hàm số:

(f(x) = sin ,x over cos ,x,(x e pi over 2 + kpi ;,k in Z))

Trả lời:

Ta có:

(eqalignvà f"(x) = (sin ,x over cos ,x) ‘= (sin ,x)’cos ,x – sin ,x.(cos ,x)’ over cos ,^2x cr& = cos ,^2x + sin ^2x over cos ,^2x = 1 over cos ,^2x cr )

4. Trả lời câu hỏi 4 trang 167 sgk Đại số với Giải tích 11

Tính đạo hàm của hàm số:

$y = chảy (pi over 2 – x)$ với $x ≠ kπ, k ∈ Z$

Trả lời:

Đặt $u = pi over 2 – x$ thì $u’ = -1$

⇒ $y’ = u’ over cos ^2u = – 1 over cos ^2u $

$= – 1 over cos ^2(pi over 2 – x) = – 1 over sin ^2x$

(vày $cos⁡(pi over 2 – x) = sin⁡x$)

Dưới đấy là phần Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 168 169 sgk Đại số với Giải tích 11. Các bạn hãy tham khảo kỹ đầu bài trước lúc giải nhé!

Bài tập

phamnhan.com trình làng cùng với chúng ta không hề thiếu cách thức giải bài bác tập đại số và giải tích 11 kèm bài giải bỏ ra tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 168 169 sgk Đại số và Giải tích 11 của Bài §3. Đạo hàm của hàm con số giác vào Chương V. Đạo hàm đến các bạn xem thêm. Nội dung cụ thể bài giải từng bài bác tập các bạn coi bên dưới đây:

*
Giải bài bác 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 168 169 sgk Đại số cùng Giải tích 11

1. Giải bài bác 1 trang 168 sgk Đại số và Giải tích 11

Tìm đạo hàm của những hàm số sau:

a) (y = fracx-15x-2)

b) (y = frac2x+37-3x)

c) (y = fracx^2+2x+33-4x)

d) (y = fracx^2+7x+3x^2-3x)

Bài giải:

a) (y = fracx-15x-2)

( y’=fracleft ( x-1 ight )’.left ( 5x-2 ight )-left ( x-1 ight ).left ( 5x-2 ight )’left ( 5x-2 ight )^2)

(y’ =frac(5x-2)-left ( x-1 ight ).5left ( 5x-2 ight )^2)

(y’ =frac3left ( 5x-2 ight )^2).

b) (y = frac2x+37-3x)

( y’=fracleft ( 2x+3 ight )’.left ( 7-3x ight )-left ( 2x+3 ight ).left ( 7-3x ight )’left ( 7-3x ight )^2)

(y’= frac2left ( 7-3x ight )-left ( 2x+3 ight ).left ( -3 ight )left ( 7-3x ight )^2)

(y’= frac23left ( 7-3x ight )^2).

c) (y = fracx^2+2x+33-4x)

( y’=fracleft ( x^2+2x+3 ight )’.left ( 3-4x ight )-left ( x^2 +2x+3 ight ).left ( 3-4x ight )’left ( 3-4x ight )^2)

(y’= fracleft ( 2x+2 ight ).left ( 3-4x ight )-left ( x^2+2x+3 ight ).(-4)(3-4x)^2)

(y’ =frac-2(2x^2-3x-9)(3-4x)^2).

d) (y = fracx^2+7x+3x^2-3x)

( y’=frac(x^2+7x+3)’.(x^2-3x)-(x^2+7x+3).(x^2-3x)’(x^2-3x)^2)

(y’ =frac(2x-7).(x^2-3x)-(x^2+7x+3).(2x-3)(x^2-3x)^2)

(y’=frac-10x^2-6x+9(x^2-3x)^2).

2. Giải bài 2 trang 168 sgk Đại số và Giải tích 11

Giải các bất pmùi hương trình sau:

a) (y"0) cùng với (y = frac2x-1x^2+x+4)

Bài giải:

a) (y"x le – 3 hfill cr} ight. hfill cr} ight.)

(Leftrightarrow left< matrixx ge 1 hfill cr x le – 3 hfill cr ight.)

(Rightarrow x∈ (-∞;-3> ∪ <1;+∞))

Vậy (x∈ (-∞;-3> ∪ <1;+∞))

c) (y’>0) với (y = frac2x-1x^2+x+4)

Ta có (y’=frac(2x-1)’.(x^2+x+4)-(2x-1).(x^2+x+4)’(x^2+x+4)=frac-2x^2+2x+9(x^2+x+4)).

Vì (x^2+x +4 =left ( x+frac12 ight )^2+ frac154 >0), cùng với (∀ x ∈ mathbb R)

(Rightarrow y’>0 Leftrightarrow frac-2x^2+2x+9(x^2+x+4) >0)

(Leftrightarrow -2x^2+2x +9>0 )

(Leftrightarrow frac1-sqrt192

3. Giải bài xích 3 trang 169 sgk Đại số và Giải tích 11

Tìm đạo hàm của những hàm số sau:

a) (y = 5sinx -3cosx)

b) ( y=fracsinx+cosxsinx-cosx)

c) (y = x cotx)

d) (y = fracsinxx+fracxsinx)

e) (y = sqrt(1 +2tan x))

f) (y = sinsqrt(1 +x^2))

Bài giải:

a) (y = 5sinx -3cosx)

(y’=5cosx-3(-sinx)=5cosx+3sinx)

b) ( y=fracsinx+cosxsinx-cosx)

(y’=(sinx+cos x)’.(sin x- cos x)-(sin x+cos x)(sin x-cos x)’over(sin x-cos x)^2)

(y’= (cos x-sin x)(sin x -cos x)-(sin x+ cos x)(cosx+sinx)over(sin x-cosx )^2)

(y’ =-2over(sin x-cos x)^2)

c) (y = x cotx)

(y’ = cotx +x. left ( -frac1sin^2x ight )= cotx – fracxsin^2x).

d) (y = fracsinxx+ fracxsinx)

( y’=frac(sin x)’.x-sin x.(x)’x^2+frac(x)’.sin x-x(sin x)’sin^2x)

(y’= fracx.cosx-sinxx^2+fracsin x-x.cosxsin^2x)

(y’= fracx.cosx-sinxx^2-fracx.cosx-sin xsin^2x)

(y’ = (x. cosx -sinx) left ( frac1x^2-frac1sin^2x ight )).

e) (y = sqrt(1 +2tan x))

( y’=frac(1+2tanx)’2sqrt1+2tanx)

(y’= fracfrac2cos^2x2sqrt1+2tanx)

(y’=frac1cos^2xsqrt1+2tanx).

f) (y = sinsqrt(1 +x^2))

(y’ = (sqrt1+x^2)’ cossqrt(1+x^2) )

(y’= frac(1+x^2)’2sqrt1+x^2cossqrt(1+x^2) )

(y’= frac2x2sqrt1+x^2cossqrt(1+x^2) )

(y’= fracxsqrt1+x^2cossqrt(1+x^2))

4. Giải bài 4 trang 169 sgk Đại số với Giải tích 11

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) (y = left( 9 – 2x ight)(2x^3 – 9x^2 + 1))

b) (y = left ( 6sqrtx -frac1x^2 ight )(7x -3))

c) (y = (x -2)sqrt(x^2+1))

d) (y = tan^2x +cotx^2)

e) (y = cosfracx1+x)

Bài giải:

a) (y = left( 9 – 2x ight)(2x^3 – 9x^2 + 1))

(y’ = left( 9 – 2x ight)"(2x^3 – 9x^2 + 1) + left( 9 – 2x ight)(2x^3 – 9x^2 + 1)’)

(y’= – 2(2x^3 – 9x^2 + 1) + left( 9 – 2x ight)(6x^2 – 18x) )

(y’=-4x^3+18x^2-2+54x^2-162x-12x^3+36x^2)

(y’= – 16x^3 + 108x^2 – 162x – 2).

b) (y = left ( 6sqrtx -frac1x^2 ight )(7x -3))

(y’ = left ( 6sqrtx -frac1x^2 ight )’.(7x -3) +left ( 6sqrtx -frac1x^2 ight )(7x -3)’)

(y’= left ( frac3sqrtx +frac2x^3 ight )(7x -3) +7 left ( 6sqrtx -frac1x^2 ight ))

(y’=63sqrtx-frac9sqrtx+frac7x^2-frac6x^3)

c) (y = (x -2)sqrt(x^2+1))

(y’ = (x -2)’sqrt(x^2+1) + (x -2)sqrt (x^2+1)’ )

(y’= sqrt (x^2+1) + (x -2)fracleft ( x^2+1 ight )’2sqrtx^2+1)

(y’= sqrt (x^2+1) + (x -2) frac2x2sqrtx^2+1)

(y’ = sqrt (x^2+1) + fracx^2-2xsqrtx^2+1)

(y’= frac2x^2-2x+1sqrtx^2+1).

d) (y = tan^2x +cotx^2)

(y’ = 2tanx.(tanx)’ – (x^2)’ left ( -frac1sin^2x^2 ight )= frac2tanxcos^2x+frac2xsin^2x^2)

e) (y = cosfracx1+x)

(y’ = left ( frac11+x ight )’sin fracx1+x= -frac1(1+x)^2sin fracx1+x).

5. Giải bài bác 5 trang 169 sgk Đại số và Giải tích 11

Tính ( fracf"(1)varphi ‘(1)), biết rằng (f(x) = x^2) và (φ(x) = 4x +sin fracpi x2)

Bài giải:

Ta có:

(f"(x) = 2xRightarrow f"(1) = 2)

(φ"(x) = 4 + left ( fracpi x2 ight )’. cos fracpi x2 = 4 + fracpi 2. cos fracpi x2)

(Rightarrow φ"(1) = 4).

(Rightarrow fracf"(1)varphi ‘(1) = frac24= frac12)

6. Giải bài 6 trang 169 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Chứng minc rằng các hàm số sau tất cả đạo hàm không nhờ vào (x):

a) (sin^6x + cos^6x + 3sin^2x.cos^2x)

b) (cos ^2left ( fracpi 3-x ight )+ cos ^2 left ( fracpi 3+x ight ) + cos ^2left ( frac2pi 3-x ight )+cos ^2 left ( frac2pi 3+x ight )-2sin^2x)

Bài giải:

a) (sin^6x + cos^6x + 3sin^2x.cos^2x)

Ta có:

((3sin^2x.cos^2x)’=3.(sin^2x)’.cos^2x+3.sin^2x(cos^2x)’)

(=3.cos^2x.2.sin x (sin x)’+3.sin^2x.2.cos x.(cosx)’)

(=6.cos^2x.sin x.cos x+6.sin^2x.cos x.(-sin x))

(=6.cos^3x.sin x-6.sin^3x.cos x)

(y’ = 6sin ^5x.cos x – 6cos ^5x.sin x + 6sin x.cos^3x – 6sin ^3x.cos x)

(= 6sin ^3x.cos x(sin^2 x – 1) + 6sin x.cos^3 x(1 – cos ^2x))

(= 6sin ^3x.cos x.cos^2x + 6sin x.cos^3 x.sin^2x)

(= – 6sin ^3x.cos^3 x + 6sin ^3x.cos^3 x = 0).

Vậy (y’ = 0)với mọi (x),tức là (y’) không nhờ vào vào (x).

b) (cos ^2left ( fracpi 3-x ight )+ cos ^2 left ( fracpi 3+x ight ) + cos ^2left ( frac2pi 3-x ight )+cos ^2 left ( frac2pi 3+x ight )-2sin^2x)

(y’ = 2cos left ( fracpi 3-x ight ).sin left ( fracpi 3-x ight ))

( -2cos left ( fracpi 3+x ight ).sin left ( fracpi 3+x ight ))

( +2cos left ( frac2 pi 3-x ight ).sin left ( frac2 pi 3-x ight ))

( -2cos left ( frac2 pi 3+x ight ).sin left ( frac2 pi 3+x ight )-4sin,xcos,x)

Áp dụng bí quyết tính đạo hàm của hàm số hòa hợp ta được

(y’ =sin left ( frac2pi 3-2x ight ) – sin left ( frac2pi 3+2x ight )+ sin left ( frac4pi 3-2x ight ) – sin left ( frac4pi 3+2x ight )- 2sin 2x )

(= -2cos frac2pi 3.sin,2x – 2cos frac4pi 3. sin 2x – 2sin 2x )

(= sin 2x + sin 2x – 2sin 2x )

(=sin,2x(1+1-2)=0)

Vậy (y’ = 0) với mọi (x), cho nên vì vậy (y’) ko dựa vào vào (x).

7. Giải bài bác 7 trang 169 sgk Đại số với Giải tích 11

Giải phương trình (f"(x) = 0), biết rằng:

a) (f(x) = 3cos x + 4sin x + 5x)

b) (f(x) = 1 – sin(π + x) + 2cos left ( frac2pi +x2 ight ))

Bài giải:

a) (f(x) = 3cos x + 4sin x + 5x)

(f"(x) = – 3sin x + 4cos x + 5).

(Rightarrow f"(x) = 0 Leftrightarrow – 3sin x + 4cos x + 5 = 0)

(Leftrightarrow3 sin x – 4cos x = 5)

(Leftrightarrow frac35sin x – frac45 cos x = 1).(*)

Đặt (cos altrộn = frac35,left(altrộn ∈ left ( 0;fracpi 2 ight ) ight ) Rightarrow sin alpha = frac45)

Ta có:

(*)(Leftrightarrow sin x.cos alpha – cos x.sin altrộn = 1)

(Leftrightarrow sin(x – altrộn ) = 1)

(Leftrightarrow x – altrộn = fracpi 2 + k2π)

(Leftrightarrow x = altrộn + fracpi 2 + k2π, k ∈ mathbb Z).

Vậy (x = alpha + fracpi 2 + k2π, k ∈ mathbb Z)

b) (f(x) = 1 – sin(π + x) + 2cos left ( frac2pi +x2 ight ))

(f"(x) = – cos(π + x) – sin left (pi + fracx2 ight ) = cos x + sin fracx 2)

(f"(x) = 0 Leftrightarrow cos x + sin fracx 2 = 0 )

(Leftrightarrow sin fracx 2 = – cosx)

(Leftrightarrow sin fracx 2 = sin left (x-fracpi2 ight ))

(Leftrightarrow left< matrixfracx 2= x-fracpi2+ k2π hfill cr fracx 2 = π – x+fracpi2+ k2π hfill cr ight.)

(Leftrightarrow left< matrixx = π – k4π hfill cr x = π + k frac4pi 3 hfill cr ight.(k ∈ mathbb Z))

Vậy (x = π – k4π)hoặc (x = π + k frac4pi 3(k ∈ mathbb Z))

8. Giải bài xích 8 trang 169 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Giải bất pmùi hương trình (f"(x) > g"(x)), biết rằng:

a) (f(x) = x^3+ x – sqrt2,g(x) = 3x^2+ x + sqrt2)

b) (f(x) = 2x^3- x^2+ sqrt3,g(x) = x^3+ fracx^22 – sqrt 3)

Bài giải:

a) (f(x) = x^3+ x – sqrt2,g(x) = 3x^2+ x + sqrt2)

Ta tất cả (f"(x) = 3x^2+ 1), (g"(x) = 6x + 1).

(Rightarrow f"(x) > g"(x) )

(Rightarrow 3x^2+ 1 > 6x + 1 )

(Leftrightarrow 3x^2- 6x >0)

(Leftrightarrow 3x(x – 2) > 0 )

(Leftrightarrow x > 2)hoặc (x > 0)

Vậy (x ∈ (-∞;0) ∪ (2;+∞)).

Xem thêm: Châm Ngôn Về Sự Ganh Ghét, Tục Ngữ Ca Dao Về Đố Kỵ, Châm Ngôn Về Sự Ganh Ghét

b) (f(x) = 2x^3- x^2+ sqrt3,g(x) = x^3+ fracx^22 – sqrt 3)

Ta có (f"(x) = 6x^2- 2x), (g"(x) = 3x^2+ x).

(Rightarrow f"(x) > g"(x))

(Leftrightarrow 6x^2- 2x > 3x^2+ x )

(Leftrightarrow 3x^2- 3x > 0)

(Leftrightarrow 3x(x – 1) > 0 )

(Leftrightarrow x > 1)hoặc (x

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Chúc các bạn có tác dụng bài xích giỏi cùng giải bài tập sgk tân oán lớp 11 với giải bài xích 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 168 169 sgk Đại số với Giải tích 11!